对于定义域为的函数,若有常数M,使得对任意的,存在唯一的满足等式,则称M为函数f (x)的“均值”.(1)判断1是否为函数≤≤的“均值”,请说明理由;(2)若函

对于定义域为的函数,若有常数M,使得对任意的,存在唯一的满足等式,则称M为函数f (x)的“均值”.(1)判断1是否为函数≤≤的“均值”,请说明理由;(2)若函

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对于定义域为的函数,若有常数M,使得对任意的,存在唯一的满足等式,则称M为函数f (x)的“均值”.
(1)判断1是否为函数的“均值”,请说明理由;
(2)若函数为常数)存在“均值”,求实数a的取值范围;
(3)若函数是单调函数,且其值域为区间I.试探究函数的“均值”情况(是否存在、个数、大小等)与区间I之间的关系,写出你的结论(不必证明).
说明:对于(3),将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分
答案
解:(1)对任意的,有
当且仅当时,有,     
故存在唯一,满足,             ……………………2分
所以1是函数的“均值”.           ……………………4分
(另法:对任意的,有,令
,且,     
,且,则有,可得
故存在唯一,满足,             ……………………2分
所以1是函数的“均值”.           ……………………4分)
(2)当时,存在“均值”,且“均值”为;…………5分
时,由存在均值,可知对任意的
都有唯一的与之对应,从而有单调,
故有,解得,        ……………………9分
综上,a的取值范围是.           ……………………10分
(另法:分四种情形进行讨论)
(3)①当I 时,函数存在唯一的“均值”.
这时函数的“均值”为;                     …………………12分
②当I为时,函数存在无数多个“均值”.
这时任意实数均为函数的“均值”;            ……………………14分
③当I 时,
函数不存在“均值”.                 ……………………16分
[评分说明:若三种情况讨论完整且正确,但未用等价形式进行叙述,至多得6分;若三种情况讨论不完整,且未用等价形式叙述,至多得5分]
①当且仅当I形如其中之一时,函数存在唯一的“均值”.
这时函数的“均值”为;                    ……………………13分
②当且仅当I为时,函数存在无数多个“均值”.
这时任意实数均为函数的“均值”;            ……………………16分
③当且仅当I形如其中之一时,函数不存在“均值”.                 ……………………18分
(另法:①当且仅当I为开区间或闭区间时,函数存在唯一的“均值”.这时函数的均值为区间I两端点的算术平均数;                    ……………………13分
②当且仅当I为时,函数存在无数多个“均值”.这时任意实数均为函数的“均值”;                                      ……………………16分
③当且仅当I为除去开区间、闭区间与之外的其它区间时,函数不存在“均值”.                                             ……………………18分)
[评分说明:在情形①与②中,等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值”,各扣1分]
解析

举一反三
已知:定义域为R的函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=" x3" +1;则x<0时,f(x)的解析式为
A  f(x)=" x3" +1    B  f(x)=" x3" -1   C   f(x)=" -x3" +1    D  f(x)=" -x3" -1
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已知函数,函数),
若存在,使得成立,则实数的取值范围是
A.B.C.D.

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已知函数
(1)求证函数在区间上存在唯一的极值点,并用二分法求函数取得极值时相应的近似值(误差不超过);(参考数据
(2)当时,若关于的不等式恒成立,试求实数的取值范围.
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已知函数,则关于的方程有5个不同实数解的充要条件是
A.B.C.D.

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已知,则函数的最小值为(   )
A.1B.2 C.3D.4

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