(本小题满分14分)已知函数满足,对于任意R都有,且,令.(1)求函数的表达式;(2)求函数的单调区间;研究函数在区间上的零点个数.

(本小题满分14分)已知函数满足,对于任意R都有,且,令.(1)求函数的表达式;(2)求函数的单调区间;研究函数在区间上的零点个数.

题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)
已知函数满足,对于任意R都有,且
,令.
(1)求函数的表达式;
(2)求函数的单调区间;
研究函数在区间上的零点个数.
答案
(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)
(1) 解:∵,∴.                                         …… 1分               
∵对于任意R都有,
∴函数的对称轴为,即,得.       …… 2分
,即对于任意R都成立,
,且
    ∵,     ∴
    ∴.                                             …… 4分
(2) 解:            …… 5分
① 当时,函数的对称轴为
,即,函数上单调递增;        …… 6分
,即,函数上单调递增,在上单调递减.
…… 7分
② 当时,函数的对称轴为
 则函数上单调递增,在上单调递减.  …… 8分
综上所述,当时,函数单调递增区间为,单调递减区间为
;                                                     …… 9分
时,函数单调递增区间为,单调递减区间为
.                                        …… 10分
(3)解:① 当时,由(2)知函数在区间上单调递增,
     又
     故函数在区间上只有一个零点.                      …… 11分
    ② 当时,则,而
    
(ⅰ)若,由于

此时,函数在区间上只有一个零点;                    …… 12分
    (ⅱ)若,由于,此时,函数在区间  
上有两个不同的零点.                                         …… 13分
    综上所述,当时,函数在区间上只有一个零点;
         当时,函数在区间上有两个不同的零点.   …… 14分
解析

举一反三
若方程有正数解,则实数的取值范围是           (   )
A.B.C.D.

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.若设函数的定义域为D,若存在非零实数使得对于任意,有,且,则称为M上的高调函数如果定义域为R的函数是奇函数,当时,,且为R上的4高调函数,那么实数的取值范围是        (   )
A.B.C.D.

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计算:           
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若函数满足下列性质:
(1)定义域为,值域为
(2)图象关于对称;
(3)对任意,且,都有
请写出函数的一个解析式             (只要写出一个即可).
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(本题满分12分)
设函数
(1)判断函数的奇偶性;
(2)判断函数上增减性,并进行证明;
(3)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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