(本小题满分15分)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数,且f(x)极小值=f(-)=-.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[-1

(本小题满分15分)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数,且f(x)极小值=f(-)=-.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[-1

题型:不详难度:来源:
(本小题满分15分)
若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数,且f(x)极小值=f(-)=-.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[-1,m](m>-1)上的最大值;
(3)设函数g(x)=,若不等式g(x)·g(2k-x)≥(-k)2在(0,2k)上恒成立,求实数k的取值范围.
答案

(1)f(x)=-x3+x
(2)f(x)max=
(3)实数k的取值范围是(0,)]
解析
解:(1)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d是奇函数,则b=d=0,
∴f /(x)=3ax2+c,则
故f(x)=-x3+x;………………………………5分
(2)∵f /(x)=-3x2+1=-3(x+)(x-)
∴f(x)在(-∞,-),(,+∞)上是增函数,在[-,]上是减函数,
由f(x)=0解得x=±1,x=0, 
如图所示,

当-1<m<0时,f(x)max=f(-1)=0;
当0≤m<时,f(x)max=f(m)=-m3+m,
当m≥时,f(x)max=f()=.
故f(x)max=.………………10分
(3)g(x)=(-x),令y=2k-x,则x、y∈R+,且2k=x+y≥2,
又令t=xy,则0<t≤k2,
故函数F(x)=g(x)·g(2k-x)=(-x)(-y)=+xy-
      =+xy-=+t+2,t∈(0,k2]
当1-4k2≤0时,F(x)无最小值,不合
当1-4k2>0时,F(x)在(0,]上递减,在[,+∞)上递增,
且F(k2)=(-k)2,∴要F(k2)≥(-k)2恒成立,
必须
故实数k的取值范围是(0,)].………………15分
举一反三
(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(x∈R),P1(x1,y1),P2(x2,y2)是函数y=f(x)图像上两点,且线段P1P2中点P的横坐标为
(1)求证P的纵坐标为定值;   (4分)
(2)若数列{}的通项公式为=f()(m∈N,n=1,2,3,…,m),求数列{}的前m项和;    (5分)
(3)若m∈N时,不等式横成立,求实数a的取值范围。(3分)
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已知,若的零点个数不为,则的最小值为       .
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若函数,则(     )
A.0B.1C.2D.3

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已知函数,则的值是         
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(本小题满分13分)已知:函数对一切实数都有
成立,且.
(1)求的值;
(2)求的解析式;               
(3)已知,设P:当时,不等式恒成立;Q:当时,是单调函数。如果满足P成立的的集合记为,满足Q成立的的集合记为,求为全集)
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