(本小题满分13分)某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；

题型：不详难度：来源：

(本小题满分13分)
某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)²万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3).
(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；
(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.

答案

（1）L′(x)＝(11－x)(17＋2a－3x).
（2）当1≤a≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a)万元.当2<a≤3时，则每件产品出厂价为元时，年利润最大，为(8－a)³万元.

解析

解：(1)依题意，L(x)＝(x－3)(11－x)²－a(11－x)²＝(x－3－a)(11－x)²，x∈[7,10].(4分)
(2)因为L′(x)＝(11－x)²－2(x－3－a)(11－x)＝(11－x)(11－x－2x＋6＋2a)
＝(11－x)(17＋2a－3x).
由L′(x)＝0，得x＝11[7,10]或x＝.(6分)
因为1≤a≤3，所以≤≤.
①当≤≤7，即1≤a≤2时，L′(x)在[7,10]上恒为负，则L(x)在[7,10]上为减函数，所以[L(x)]_max＝L(7)＝16(4－a).(9分)
②当7<≤，即2<a≤3时，[L(x)]_max＝L()＝(8－a)³.(12分)
即当1≤a≤2时，则每件产品出厂价为7元时，年利润最大，为16(4－a)万元.当2<a≤3时，则每件产品出厂价为元时，年利润最大，为(8－a)³万元.(13分)