(Ⅰ)当a=b=0时 f(x)= f′(x)= 记h(x)=16x3+48x2-14 令h(x)=0,得x=,x=,或x=. 若x∈或,则f′(x)>0,即f(x)在和上为增函数. 若x∈,则f′(x)<0,即f(x)在上为减函数, ∴f()=6为极小值. 又f(-1)=6, ∴f(x)在[-1,1]上的最小值为f(-1)=f()=6. ∴f(x)≥6,当x=-1或时,f(x)取到最小值6. (Ⅱ)6≤f(x)≤5+ 6≤≤5+ 6(x+2)≤8x3+ax2+6x+14≤6x+16 0≤8x3+ax2+(b-6)x+2≤4 即 在不等式(*)中,取x=-1,,得 -8+a-(b-6)+2≥0 1+ 即a-b≥0,a+b≥0 亦即-a+b≤0 (1) (2) 在不等式(#)中,取x=1,-,得 8+a+(b-6)+2≤4 -1+a-(b-6)+2≤4 即a+b≤0,≤0 亦即a+b≤0 (3) -a+≥0 (4) (1)+(3),得b≤0 (2)+(4),得b≥0 ∴b=0 将b=0代入(2),得a≥0 将b=0代入(3),得a≤0 ∴a=0 当a=0,b=0时, 6≤f(x)≤5+ 0≤8x3+ax2+(b-6)x+2≤4 0≤8x3-6x+2≤4 记g(x)=8x3-6x+2 0≤g(x)≤4 g′(x)=24x2-6, 令g′(x)=0,得x=-或x=. 若x∈或则g′(x)>0,即g(x)在和上为增函数. 若x∈,则g′(x)<0,即g(x)在上为减函数, ∴g(-)=4为极大值,g()=0为极小值. 又g(-1)=0,g(1)=4, ∴g(x)在[-1,1]上最大值为g(-)=g(1)=4, g(x)在[-1,1]上最小值为g(-1)=g()=0. 知0≤g(x)≤4,对一切x∈[-1,1]成立. 综上可知a=0,b=0是满足题意的唯一一组值. |