设M为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数λ和向量a∈M,都有λa∈M,则称M为“点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是(  )A.{(x,y)|y

设M为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数λ和向量a∈M,都有λa∈M,则称M为“点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是(  )A.{(x,y)|y

题型:肇庆一模难度:来源:
设M为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数λ和向量a∈M,都有λa∈M,则称M为“点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是(  )
A.{(x,y)|y≥x2}B.{(x,y)|





x-y≥0
x+y≤0
}
C.{(x,y)|x2+y2-2y≥0}D.{(x,y)|3x2+2y2-12<0}
答案
根据“点射域”的定义,可得向量


a
∈M时,与它共线的向量λ


a
∈M也成立,
对于A,M={(x,y)|y≥x2}表示终点在抛物线y≥x2上及其张口以内的向量构成的区域,
向量


a
=(1,1)∈M,但3


a
=(3,3)∉M,故它不是“点射域”;
对于B,M={(x,y)|





x-y≥0
x+y≤0
},可得任意正实数λ和向量


a
∈M,都有λ


a
∈M,故它是“点射域”;
对于C,M={(x,y)|x2+y2-2y≥0},表示终点在圆x2+y2-2y=0上及其外部的向量构成的区域,
向量


a
=(0,2)∈M,但
1
2


a
=(0,1)∉M,故它不是“点射域”;
对于D,M={(x,y)|3x2+2y2-12<0},表示终点在椭圆 3x2+2y2=12的向量构成的区域,
向量


a
=(1,1)∈M,但3


a
=(3,3)∉M,故它不是“点射域”.
综上所述,满足是“点射域”的区域只有B
故选B.
举一反三
设A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},从集合A到集合B的映射中,满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)的映射有(  )
A.27个B.9个C.21个D.12个
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设V是已知平面M上所有向量的集合,对于映射f:V→V,


a
∈V
,记


a
的象为f(


a
)
.若映射f:V→V满足:对所有


a


b
∈V
及任意实数λ,μ都有f(λ


a


b
)=λf(


a
)+μf(


b
)
,则f称为平面M上的线性变换.现有下列命题:
①设f是平面M上的线性变换,则f(


0
)=


0

②对


a
∈V
f(


a
)=2


a
,则f是平面M上的线性变换;
③若


e
是平面M上的单位向量,对


a
∈V
f(


a
)=


a
-


e
,则f是平面M上的线性变换;
④设f是平面M上的线性变换,


a


b
∈V
,若


a


b
共线,则f(


a
),f(


b
)
也共线.
其中真命题是______(写出所有真命题的序号)
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已知函数①f(x)=5x-
2
3
;②f(x)=5cosx;③f(x)=5ex;④f(x)=5lnx,其中对于f(x)定义域内的任意一个自变量x1,都存在唯一的自变量x2,使


f(x1)f(x2)
=5
成立的函数为(  )
A.①③④B.②④C.①③D.③
题型:不详难度:| 查看答案
已知向量


a
=(1,1),


b
=(1,0),向量


c
满足


a


c
=0且|


a
|=|


c
|,


b


c
>0.
(I)求向量


c

(Ⅱ)映射f:(x,y)→(x′,y′)=x•


a
+y•


c
,若将(x,y)看作点的坐标,问是否存在直线l,使得直线l上任意一点P在映射f的作用下仍在直线l上?若存在,求出l的方程,若不存在,说明理由.
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若f:y=3x+1是从集合A={1,2,3,k}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一个映射,求自然数a、k的值及集合A、B.
题型:不详难度:| 查看答案
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