已知向量a=(1,1),b=(1,0),向量c满足a•c=0且|a|=|c|,b•c>0.(I)求向量c;(Ⅱ)映射f:(x,y)→(x′,y′)=x•a+y•

已知向量a=(1,1),b=(1,0),向量c满足a•c=0且|a|=|c|,b•c>0.(I)求向量c;(Ⅱ)映射f:(x,y)→(x′,y′)=x•a+y•

题型:不详难度:来源:
已知向量


a
=(1,1),


b
=(1,0),向量


c
满足


a


c
=0且|


a
|=|


c
|,


b


c
>0.
(I)求向量


c

(Ⅱ)映射f:(x,y)→(x′,y′)=x•


a
+y•


c
,若将(x,y)看作点的坐标,问是否存在直线l,使得直线l上任意一点P在映射f的作用下仍在直线l上?若存在,求出l的方程,若不存在,说明理由.
答案
(1)设


c
=(x,y),由题意可得







a


c
=x+y=0
|


a
|=|


c
|=


x2+y2
=


12+12

解方程组得





x=1
y=-1





x=-1
y=1

经验证当





x=-1
y=1
时不满足


b


c
>0
,当





x=1
y=-1
时满足题意,


c
=(1,-1).
(2)假设直线l存在,∴x


a
+y


c
=(x+y,x-y),∵点(x+y,x-y)在直线l上,
因此直线l的斜率存在且不为零,设其方程为y=kx+b(k≠0),
∴x-y=k(x+y)+b,即(1+k)y=(1-k)x-b,与y=kx+b表示同一直线,
∴b=0,k=-1±


2

故直线l存在,其方程为y=(-1+


2
)x,或y=(-1-


2
)x.
举一反三
若f:y=3x+1是从集合A={1,2,3,k}到集合B={4,7,a4,a2+3a}的一个映射,求自然数a、k的值及集合A、B.
题型:不详难度:| 查看答案
集合A到B映射f:x→y=2x+1,那么A中元素2在f作用下对应元素(  )
A.2B.6C.5D.8
题型:不详难度:| 查看答案
函数f:{1,2,3}→{1,2,3}满足f(f(x))=f(x),则这样的函数个数共有(  )
A.1个B.4个C.8个D.10个
题型:浙江难度:| 查看答案
对于函数f(n)=
1+(-1)n
2
(n∈N*),我们可以发现f(n)有许多性质,如:f(2k)=1(k∈N*)等,下列关于f(n)的性质中一定成立的是(  )
A.f(n+1)-f(n)=1B.f(n+k)=f(n)(k∈N*
C.αf(n)=f(n+1)+αf(n)(α≠0)D.αf(n+1)=α-(α+1)f(n)(α≠0)
题型:卢湾区一模难度:| 查看答案
下列各对函数中,相同的是(  )
A.f(x)=lgx2,g(x)=2lgx
B.f(x)=lg
x+1
x-1
,g(x)=lg(x+1)-lg(x-1)
C.f(u)=


1+u
1-u
,g(v)=


1+v
1-v
D.f(x)=x,g(x)=


x2
题型:徐汇区一模难度:| 查看答案
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