函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1、x2∈D,有f(x1● x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的
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函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1、x2∈D, 有f(x1● x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明; (3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x﹣6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围. |
答案
(1)解:令x1=x2=1,有f(1×1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0. (2)证明:令x1=x2=﹣1,有f[(﹣1)×(﹣1)]=f(﹣1)+f(﹣1).解得f(﹣1)=0. 令x1=﹣1,x2=x,有f(﹣x)=f(﹣1)+f(x), ∴f(﹣x)=f(x). ∴f(x)为偶函数. (3)解:f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3. ∴f(3x+1)+f(2x﹣6)≤3即f[(3x+1)(2x﹣6)]≤f(64).(*) ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴(*)等价于不等式组或 或或 ∴3<x≤5或﹣≤x<﹣或﹣<x<3. ∴x的取值范围为{x|﹣≤x<﹣或﹣<x<3或3<x≤5}. |
举一反三
在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N+)个整点,则称函数f(x)为n阶整点函数.有下列函数: ①f(x)=sin2x;②g(x)=x3;③;④φ(x)=lnx. 其中是一阶整点函数的是 |
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A.①②③④ B.①③④ C.①④ D.④ |
定义在R上的函数f(x)满足则f(﹣1)=( ),f(33)=( ) |
已知函数f(x),g(x)分别由表给出,则f(g(1))=( ). |
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根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是( )( ). |
设集合A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},从A到B的映射f:(x,y)→(x+2y,2x﹣y),则在映射f下B中的元素(1,1)对应的A中元素为 |
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A.(1,3) B.(1,1) C. D. |
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