已知数列{an}满足：a1=13，且对任意正整数n，都有an+1= 13an，若数列{an}的前n项和为Sn，则limn→∞Sn=______．

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已知数列{an}满足：a1=13，且对任意正整数n，都有an+1= 13an，若数列{an}的前n项和为Sn，则limn→∞Sn=______．

题型：不详难度：来源：
已知数列{an}满足：a1=
1
3
，且对任意正整数n，都有an+1= 
1
3
an，若数列{an}的前n项和为Sn，则
lim
n→∞
Sn=______．
答案
∵a1=
1
3
，an+1= 
1
3
an
∴数列{bn}是以
1
3
为首项，以
1
3
为公比的等比数列
∴
lim
n→∞
Sn=
1
3
[1-(
1
3
)n ]
1-
1
3
=
lim
n→∞
1-(
1
3
)n
2
=
1
2

故答案为：
1
2
举一反三
计算
lim
n→∞
[
1
1×3
+
1
2×4
+
1
3×5
+…+
1
n(n+2)
]=______．
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已知各项均不相等的正项数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn．
（1）若{an}，{bn}为等差数列，求证：
lim
n→∞
an
bn
=
lim
n→∞
Sn
Tn
．
（2）将（1）中的数列{an}，{bn}均换作等比数列，请给出使
lim
n→∞
an
bn
=
lim
n→∞
Sn
Tn
成立的条件．
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计算：
lim
n→∞
[1-
1
2
+
1
4
-
1
8
+…+(-1)n-1•
1
2n-1
]=______．
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（任选一题）
（1）已知α、β为实数，给出下列三个论断：
①|α-β|≤|α+β|②|α+β|＞5  ③|α|＞2


2
，|β|＞2


2

以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出你认为正确的命题是______．
（2）设{an}和{bn}都是公差不为零的等差数列，且
lim
n→∞
an
bn
=2，则
lim
n→∞
b1+b2+…+bn
na2n
的值为______．
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定义域为R，且对任意实数x1，x2都满足不等式f（
x1+x2
2
）≤
f(x1)+f(x2)
2
的所有函数f（x）组成的集合记为M，例如，函数f（x）=kx+b∈M．
（1）已知函数f（x）=





x，x≥0
1
2
x，x＜0
，证明：f（x）∈M；
（2）写出一个函数f（x），使得f（x0）∉M，并说明理由；
（3）写出一个函数f（x）∈M，使得数列极限
lim
n→∞
f(n)
n2
=1，
lim
n→∞
f(-n)
-n
=1．
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