已知数列{an}满足:a1=13,且对任意正整数n,都有an+1= 13an,若数列{an}的前n项和为Sn,则limn→∞Sn=______.

已知数列{an}满足:a1=13,且对任意正整数n,都有an+1= 13an,若数列{an}的前n项和为Sn,则limn→∞Sn=______.

题型:不详难度:来源:
已知数列{an}满足:a1=
1
3
,且对任意正整数n,都有an+1
1
3
an
,若数列{an}的前n项和为Sn,则
lim
n→∞
Sn
=______.
答案
a1=
1
3
an+1
1
3
an

∴数列{bn}是以
1
3
为首项,以
1
3
为公比的等比数列
lim
n→∞
Sn=
1
3
[1-(
1
3
)
n
 ]
1-
1
3
=
lim
n→∞
1-(
1
3
)
n
2
=
1
2

故答案为:
1
2
举一反三
计算
lim
n→∞
[
1
1×3
+
1
2×4
+
1
3×5
+…+
1
n(n+2)
]
=______.
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已知各项均不相等的正项数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn
(1)若{an},{bn}为等差数列,求证:
lim
n→∞
an
bn
=
lim
n→∞
Sn
Tn

(2)将(1)中的数列{an},{bn}均换作等比数列,请给出使
lim
n→∞
an
bn
=
lim
n→∞
Sn
Tn
成立的条件.
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计算:
lim
n→∞
[1-
1
2
+
1
4
-
1
8
+…+(-1)n-1
1
2n-1
]
=______.
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(任选一题)
(1)已知α、β为实数,给出下列三个论断:
①|α-β|≤|α+β|②|α+β|>5  ③|α|>2


2
,|β|>2


2

以其中的两个论断为条件,另一个论断为结论,写出你认为正确的命题是______.
(2)设{an}和{bn}都是公差不为零的等差数列,且
lim
n→∞
an
bn
=2
,则
lim
n→∞
b1+b2+…+bn
na2n
的值为______.
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定义域为R,且对任意实数x1,x2都满足不等式f(
x1+x2
2
)≤
f(x1)+f(x2)
2
的所有函数f(x)组成的集合记为M,例如,函数f(x)=kx+b∈M.
(1)已知函数f(x)=





x,x≥0
1
2
x,x<0
,证明:f(x)∈M;
(2)写出一个函数f(x),使得f(x0)∉M,并说明理由;
(3)写出一个函数f(x)∈M,使得数列极限
lim
n→∞
f(n)
n2
=1,
lim
n→∞
f(-n)
-n
=1.
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