是否存在常数a,b,c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=n(n+1)12(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立?并证明你的结论.
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是否存在常数a,b,c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=n(n+1)12(an2+bn+c)对于一切正整数n都成立?并证明你的结论.
题型:不详
难度:
来源:
是否存在常数a,b,c使得等式1•2
2
+2•3
2
+…+n(n+1)
2
=
n(n+1)
12
(an
2
+bn+c)对于一切正整数n都成立?并证明你的结论.
答案
证明:假设存在符合题意的常数a,b,c,
在等式1•2
2
+2•3
2
++n(n+1)
2
=
n(n+1)
12
(an
2
+bn+c)中,
令n=1,得4=
1
6
(a+b+c)①
令n=2,得22=
1
2
(4a+2b+c)②
令n=3,得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3,b=11,c=10,
于是,对于n=1,2,3都有
1•2
2
+2•3
2
++n(n+1)
2
=
n(n+1)
12
(3n
2
+11n+10)(*)成立.
下面用数学归纳法证明:对于一切正整数n,(*)式都成立.
(1)当n=1时,由上述知,(*)成立.
(2)假设n=k(k≥1)时,(*)成立,
即1•2
2
+2•3
2
++k(k+1)
2
=
k(k+1)
12
(3k
2
+11k+10),
那么当n=k+1时,
1•2
2
+2•3
2
++k(k+1)
2
+(k+1)(k+2)
2
=
k(k+1)
12
(3k
2
+11k+10)+(k+1)(k+2)
2
=
(k+1)(k+2)
12
(3k
2
+5k+12k+24)
=
(k+1)(k+2)
12
[3(k+1)
2
+11(k+1)+10],
由此可知,当n=k+1时,(*)式也成立.
综上所述,当a=3,b=11,c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立.
举一反三
已知
(2
x
-
2
2
)
9
的展开式的第7项为
21
4
.,则
lim
x-∞
(x+x
2
+…+x
n
)等于( )
A.
3
4
B.
1
4
C.-
1
4
D.-
3
4
题型:南充一模
难度:
|
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在二项式
(ax+
3
x
)
6
(a∈R)
的展开式中,常数项的值是-20,则
lim
n→∞
(a+
a
2
+
a
3
+…+
a
n
)
=______.
题型:松江区二模
难度:
|
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已知数列{a
n
}是无穷等比数列,其前n项和是S
n
,若a
2
+a
3
=2,a
3
+a
4
=1,则
lim
n→∞
S
n
的值为______.
题型:崇明县二模
难度:
|
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已知函数f(x)满足
f(x+y)=f(x)•f(y),且f(1)=
1
2
.
(1)当x∈N
+
时,求f(n)的表达式;
(2)设
a
n
=nf(n)
(n∈
N
+
)
,求证:a
1
+a
2
+…+a
n
<2;
(3)设
b
n
=
nf(n+1)
f(n)
&(n∈
N
+
),
S
n
=
b
1
+
b
2
+…+
b
n
,求
lim
n→∞
(
1
S
1
+
1
S
2
+…+
1
S
n
)
.
题型:不详
难度:
|
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设M
n
={(十进制)n位纯小数0.
.
a
1
a
2
…
a
n
|a
i
只取0或1(i=1,2,…,n-1),a
n
=1},T
n
是M
n
中元素的个数,S
n
是M
n
中所有元素的和,则
lim
n→∞
Sn
Tn
=______.
题型:不详
难度:
|
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