证法一:(分析综合法) 欲证原式,即证4(ab)2+4(a2+b2)-25ab+4≥0, 即证4(ab)2-33(ab)+8≥0,即证ab≤或ab≥8. ∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2,∴ab≤,从而得证. 证法二:(均值代换法) 设a=+t1,b=+t2. ∵a+b=1,a>0,b>0,∴t1+t2=0,|t1|<,|t2|<
显然当且仅当t=0,即a=b=时,等号成立. 证法三:(比较法) ∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2,∴ab≤
证法四:(综合法) ∵a+b=1,a>0,b>0,∴a+b≥2,∴ab≤. 证法五:(三角代换法) ∵a>0,b>0,a+b=1,故令a=sin2α,b=cos2α,α∈(0,)
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