若a>0,b>0,a3+b3=2,求证:a+b≤2,ab≤1。
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若a>0,b>0,a3+b3=2,求证:a+b≤2,ab≤1。 |
答案
证明略 |
解析
证法一:因a>0,b>0,a3+b3=2,所以 (a+b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6 =3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0。 即(a+b)3≤23,又a+b>0,所以a+b≤2,因为2 ≤a+b≤2, 所以ab≤1 证法二:设a、b为方程x2-mx+n=0的两根,则 , 因为a>0,b>0,所以m>0,n>0,且Δ=m2-4n≥0 ① 因为2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m(m2-3n) 所以n= ② 将②代入①得m2-4( )≥0, 即 ≥0,所以-m3+8≥0,即m≤2,所以a+b≤2, 由2≥m得4≥m2,又m2≥4n,所以4≥4n, 即n≤1,所以ab≤1 证法三:因a>0,b>0,a3+b3=2,所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b) 于是有6≥3ab(a+b), 从而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3,所以a+b≤2,(下略) 证法四:因为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206174825-52074.gif)
≥0, 所以对任意非负实数a、b,有 ≥![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206174825-40570.gif) 因为a>0,b>0,a3+b3=2,所以1= ≥ , ∴ ≤1,即a+b≤2,(以下略) 证法五:假设a+b>2,则 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>(a+b)ab>2ab,所以ab<1, 又a3+b3=(a+b)[a2-ab+b2]=(a+b)[(a+b)2-3ab]>2(22-3ab) 因为a3+b3=2,所以2>2(4-3ab),因此ab>1,前后矛盾, 故a+b≤2(以下略)。 |
举一反三
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