在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的焦点在y轴上,且抛物线上的点P(x0,4)到焦点F的距离为5.斜率为2的直线l与抛物线C交于A,B两点.(Ⅰ)求抛物线C的标
题型:丰台区二模难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的焦点在y轴上,且抛物线上的点P(x0,4)到焦点F的距离为5.斜率为2的直线l与抛物线C交于A,B两点. (Ⅰ)求抛物线C的标准方程,及抛物线在P点处的切线方程; (Ⅱ)若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M,N两点(M,N位于直线l两侧),当四边形AMBN为菱形时,求直线l的方程. |
答案
(Ⅰ)依题意设抛物线C:x2=2py(p>0), 因为点P到焦点F的距离为5,所以点P到准线y=-的距离为5. 因为P(x0,4),所以由抛物线准线方程可得=1,∴p=2. 所以抛物线的标准方程为x2=4y. …(4分) 即y=x2,所以 y′=x,点P(±4,4), 所以y′|x=-4=×(-4)=-2,y′|x=4=×4=2. 所以点P(-4,4)处抛物线切线方程为y-4=-2(x+4),即2x+y+4=0;点P(4,4)处抛物线切线方程为y-4=2(x-4),即2x-y-4=0. 所以P点处抛物线切线方程为2x+y+4=0,或2x-y-4=0. …(7分) (Ⅱ)设直线l的方程为y=2x+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立,消y得x2-8x-4m=0,△=64+16m>0. 所以x1+x2=8,x1x2=-4m, 所以=4,=8+m, 即AB的中点为Q(4,8+m). 所以AB的垂直平分线方程为y-(8+m)=-(x-4). 因为四边形AMBN为菱形,所以M(0,m+10), 因为M,N关于Q(4,8+m)对称,所以N点坐标为N(8,m+6), 因为N在抛物线上,所以64=4×(m+6),即m=10, 所以直线l的方程为y=2x+10. …(14分) |
举一反三
已知直线l:y=1-2x交抛物线y2=mx于A、B两点,P为弦AB的中点.OP的斜率为-,求此抛物线的方程. |
焦点在直线3x-4y-12=0上,并且是标准的抛物线方程是______. |
抛物线顶点在原点,焦点在y轴上,其上一点P(m,1)到焦点距离为5,则抛物线方程为( )A.x2=8y | B.x2=-8y | C.x2=16y | D.x2=-16y | 已知抛物线准线方程为y=-,则该抛物线标准方程为( )A.y2=6x | B.x2=6y | C.y2=x | D.x2=y | 已知抛物线y2=-2px(p>0),过其焦点的直线与抛物线交于M(x1,y1),N(x2,y2),若x1x2=1,则抛物线准线方程为( )x= |
|
|
|