设x1、x2、y1、y2是实数,且满足x12+x22≤1,证明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).
题型:不详难度:来源:
设x1、x2、y1、y2是实数,且满足x12+x22≤1, 证明不等式(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1). |
答案
证明略 |
解析
分析:要证原不等式成立,也就是证(x1y1+x2y2-1)2-(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0. (1)当x12+x22=1时,原不等式成立.……………3分 (2)当x12+x22<1时,联想根的判别式,可构造函数f(x)=(x12+x22-1)x-2(x1y1+x2y2-1)x+(y12+y22-1)…………………7分 其根的判别式Δ=4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1).………9分 由题意x12+x22<1,函数f(x)的图象开口向下. 又∵f(1)=x12+x22-2x1y1-2x2y2+y12+y22=(x1-y1)2+(x2-y2)2≥0,………11分 因此抛物线与x轴必有公共点. ∴Δ≥0. ∴4(x1y1+x2y2-1)2-4(x12+x22-1)(y12+y22-1)≥0,…………13分 即(x1y1+x2y2-1)2≥(x12+x22-1)(y12+y22-1).……………14分 |
举一反三
设 求证![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206175346-79664.gif) |
设 是定义在正整数集上的函数,且 满足:“当 成立时,总可推出![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206175234-46941.gif) 成立”.那么,下列命题总成立的是A.若 成立,则当 时,均有 成立 | B.若 成立,则当 时,均有 成立 | C.若 成立,则当 时,均有 成立 | D.若 成立,则当 时,均有 成立 |
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(本题满分12分) 已知:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206175130-83506.gif) 求证:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200206/20200206175131-39079.gif) |
证明不等式 (n∈N*) |
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