设A=xn+x-n，B=xn-1+x1-n，当x∈R+，n∈N+时，求证：A≥B．

题型：不详难度：来源：

设A=xⁿ+x^-n，B=x^n-1+x^1-n，当x∈R⁺，n∈N⁺时，求证：A≥B．

答案

证明：A-B=（xⁿ+x^-n）-（x^n-1+x^1-n）
=x^-n（x²ⁿ+1-x^2n-1-x）
=x^-n[x（x^2n-1-1）-（x^2n-1-1）]
=x^-n（x-1）（x^2n-1-1）．
由x∈R⁺，x^-n＞0，得
当x≥1时，x-1≥0，x^2n-1-1≥0；
当x＜1时，x-1＜0，x²ⁿ-1＜0，即
x-1与x^2n-1-1同号．∴A-B≥0．∴A≥B．