已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.
题型:不详难度:来源:
已知a,b,c是不全相等的正数,求证:a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc. |
答案
证明:∵b2+c2≥2bc,a>0, ∴a(b2+c2)≥2abc ①…(5分) 同理 b(c2+a2)≥2abc ② c(a2+b2)≥2abc ③…(9分) 因为a,b,c不全相等,所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”号, 从而①、②、③三式也不能全取“=”号 ∴三式相加可得:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc…(14分) |
举一反三
(1)已知a,b∈R,求证2(a2+b2)≥(a+b)2. (2)用分析法证明:+>2+. |
(1)用反证法证明:在一个三角形中,至少有一个内角大于或等于60°. (2)已知n≥0,试用分析法证明:-<-. |
已知正数a,b,c,d满足a+b=c+d,且a<c≤d<b,求证:+<+. |
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