已知正数a，b，c，d满足a+b=c+d，且a＜c≤d＜b，求证：a+b＜c+d．

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已知正数a，b，c，d满足a+b=c+d，且a＜c≤d＜b，求证：a+b＜c+d．

题型：不详难度：来源：
已知正数a，b，c，d满足a+b=c+d，且a＜c≤d＜b，求证：


a
+


b
＜


c
+


d
．
答案
证明：要证明


a
+


b
＜


c
+


d
，只需证明(


a
+


b
)2＜(


c
+


d
)2，
需证明a+b+2


ab
＜c+d+2


cd
．∵a+b=c+d，故只需证明ab＜cd，
需证明ab-bc＜cd-bc，只需证明 b（a-c）＜c（d-b）．∵a+b=c+d，即（a-c）=（d-b），
只需证明（a-c）（b-c）＜0．∵a-c＜0，需证明b-c＞0，
而b-c＞0显然成立，∴


a
+


b
＜


c
+


d
成立．证毕．
举一反三
用综合法或分析法证明：
（1）如果a＞0，b＞0，则lg
a+b
2
≥
lga+lgb
2
；
（2）求证：


6
-


5
＞2


2
-


7
．
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已知x，y，z∈R+，求证：
（1）（x+y+z）3≥27xyz；  
（2）(
x
y
+
y
z
+
z
x
)(
y
x
+
z
y
+
x
z
)≥9；  
（3）（x+y+z）（x2+y2+z2）≥9xyz．
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判断命题“若a＞b＞c且a+b+c=0，则


b2-ac
a
＜


3
”是真命题还是假命题，并证明你的结论．
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设函数f(x)=
x3
3
+
a
2
x2+bx+c(a，b，c∈R），函数f（x）的导数记为f"（x）．
（1）若a=f"（2），b=f"（1），c=f"（0），求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，记F(n)=
1
f′(n)+2
，求证：F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜
11
18
(n∈N*）；
（3）设关于x的方程f"（x）=0的两个实数根为α、β，且1＜α＜β＜2．试问：是否存在正整数n0，使得|f′(n0)|≤
1
4
？说明理由．
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设x，y，z∈R+，求证：
2x2
y+z
+
2y2
z+x
+
2z2
x+y
≥x+y+z．
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