已知正数a,b,c,d满足a+b=c+d,且a<c≤d<b,求证:a+b<c+d.
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已知正数a,b,c,d满足a+b=c+d,且a<c≤d<b,求证:a+b<c+d.
题型:不详
难度:
来源:
已知正数a,b,c,d满足a+b=c+d,且a<c≤d<b,求证:
a
+
b
<
c
+
d
.
答案
证明:要证明
a
+
b
<
c
+
d
,只需证明
(
a
+
b
)
2
<(
c
+
d
)
2
,
需证明
a+b+2
ab
<c+d+2
cd
.∵a+b=c+d,故只需证明ab<cd,
需证明ab-bc<cd-bc,只需证明 b(a-c)<c(d-b).∵a+b=c+d,即(a-c)=(d-b),
只需证明(a-c)(b-c)<0.∵a-c<0,需证明b-c>0,
而b-c>0显然成立,∴
a
+
b
<
c
+
d
成立
.证毕.
举一反三
用综合法或分析法证明:
(1)如果a>0,b>0,则
lg
a+b
2
≥
lga+lgb
2
;
(2)求证:
6
-
5
>2
2
-
7
.
题型:不详
难度:
|
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已知x,y,z∈R
+
,求证:
(1)(x+y+z)
3
≥27xyz;
(2)
(
x
y
+
y
z
+
z
x
)(
y
x
+
z
y
+
x
z
)≥9
;
(3)(x+y+z)(x
2
+y
2
+z
2
)≥9xyz.
题型:不详
难度:
|
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判断命题“若a>b>c且a+b+c=0,则
b
2
-ac
a
<
3
”是真命题还是假命题,并证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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设函数
f(x)=
x
3
3
+
a
2
x
2
+bx+c(a,b,c∈
R),函数f(x)的导数记为f"(x).
(1)若a=f"(2),b=f"(1),c=f"(0),求a、b、c的值;
(2)在(1)的条件下,记
F(n)=
1
f′(n)+2
,求证:F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)<
11
18
(n∈
N
*
);
(3)设关于x的方程f"(x)=0的两个实数根为α、β,且1<α<β<2.试问:是否存在正整数n
0
,使得
|f′(
n
0
)|≤
1
4
?说明理由.
题型:不详
难度:
|
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设x,y,z∈R
+
,求证:
2
x
2
y+z
+
2
y
2
z+x
+
2
z
2
x+y
≥x+y+z
.
题型:不详
难度:
|
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