设x，y，z∈R+，求证：2x2y+z+2y2z+x+2z2x+y≥x+y+z．

题型：不详难度：来源：

设x，y，z∈R⁺，求证：

2x2

y+z

+

2y2

z+x

+

2z2

x+y

≥x+y+z．

答案

证明：∵x，y，z∈R⁺，
∴由基本不等式可得  

2x2

y+z

+

y+z

2

 ≥ 2x①，

2y2

x+z

+

x+z

2

 ≥  2y ②，

2z2

x+y

+

x+y

2

 ≥  2z③．
把 ①②③相加可得

2x2

y+z

+

2y2

z+x

+

2z2

x+y

+ x + y + z≥2x+2y+2z，∴

2x2

y+z

+

2y2

z+x

+

2z2

x+y

≥ x + y + z成立．