已知正数a,b,c满足a+b+c=1证明  a3+b3+c3≥a2+b2+c23.

已知正数a,b,c满足a+b+c=1证明  a3+b3+c3≥a2+b2+c23.

题型:不详难度:来源:
已知正数a,b,c满足a+b+c=1证明  a3+b3+c3
a2+b2+c2
3
答案
证明:∵正数a,b,c满足a+b+c=1,要证 a3+b3+c3
a2+b2+c2
3

只要证   3a3+3b3+3c3-a2-b2-c2≥0,
只要证   2(a3+b3+c3 )+a2(a-1)+b2(b-1)+c2(c-1)≥0,
只要证   2(a3+b3+c3 )+a2(-b-c)+b2(-a-c)+c2(-a-b)≥0,
只要证   a3+b3+c3+a3+b3+c3-a2b-a2c-b2a-b2c-c2a-c2b≥0,
只要证   a2 (a-b)+a2(a-c)+b2(b-a)+b2(b-c)+c2(c-a)+c2(c-b)≥0,
只要证   (a-b)(a2-b2)+(b-c) (b2-c2)+(c-a)(c2-a2)≥0,
只要证   (a+b)(a-b)2+(b+c)(b-c)2+(c+a) (c-a)2≥0,
而由题意可知  (a+b)(a-b)2+(b+c)(b-c)2+(c+a) (c-a)2≥0  成立,故要证的不等式成立.
举一反三
设a≥b>0,求证:3a3+2b3≥3a2b+2ab2
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已知:a,b,c,d∈R,求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
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已知a>0,
1
b
-
1
a
>1,求证:


1+a
1


1-b
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选修4-5:不等式选讲
(Ⅰ)已知x,y都是正实数,求证:x3+y3≥x2y+xy2
(Ⅱ)已知a,b,c都是正实数,求证:a3+b3+c3
1
3
(a2+b2+c2)(a+b+c)
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|AB|=|xA-xB|表示数轴上A,B两点的距离,它也可以看作满足一定条件的一种运算.这样,可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p(x,y)叫做x,y之间的距离:条件一,非负性p(x,y)≥0,等号成立当且仅当x=y;条件二,交换律p(x,y)=p(y,x);条件三,三角不等式p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z).
试确定运算s(x,y)=
|x-y|
1+|x-y|
是否为一个距离?是,证明;不是,举出反例.
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