已知:a,b,c,d∈R,求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
题型:不详难度:来源:
已知:a,b,c,d∈R,求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). |
答案
证明:解法1 (分析法)要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),(2分) 即证:a2c2+b2d2+2abcd≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 ,(4分) 即证:2abcd≤a2d2+b2c2 ,(6分) 即证:0≤a2d2+b2c2-2abcd=(ad+bc)2,(8分) 上式明显成立.(10分) 故(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)(12分) 解法2 (综合法)因为a2d2+b2c2≥2abcd(重要不等式)(3分) 所以(ac+bd)2=a2c2+b2d2+2abcd(6分)≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2(9分)=(a2+b2)(c2+d2)(12分) 解法3 (作差法)因为(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2(2分)=(a2c2+a2d2+b2c2+b2d2)-(a2c2+b2d2+2abcd)(5分) =b2c2+a2d2-2abcd(8分)=(b2c2-a2d2)2≥0(10分) 所以(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). (12分) |
举一反三
选修4-5:不等式选讲 (Ⅰ)已知x,y都是正实数,求证:x3+y3≥x2y+xy2; (Ⅱ)已知a,b,c都是正实数,求证:a3+b3+c3≥(a2+b2+c2)(a+b+c). |
|AB|=|xA-xB|表示数轴上A,B两点的距离,它也可以看作满足一定条件的一种运算.这样,可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p(x,y)叫做x,y之间的距离:条件一,非负性p(x,y)≥0,等号成立当且仅当x=y;条件二,交换律p(x,y)=p(y,x);条件三,三角不等式p(x,z)≤p(x,y)+p(y,z). 试确定运算s(x,y)=是否为一个距离?是,证明;不是,举出反例. |
求证:(1)n≥0,试用分析法证明,-<-, (2)当a、b、c为正数时,(a+b+c)(++)≥9. 相等的非零实数.用反证法证明三个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根. |
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