已知函数f(x)=exlnx.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设x>0,求证:f(x+1)>e 2x﹣1;(3)设n∈N*,求证:ln(1×2+1)+ln

已知函数f(x)=exlnx.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设x>0,求证:f(x+1)>e 2x﹣1;(3)设n∈N*,求证:ln(1×2+1)+ln

题型:湖南省月考题难度:来源:
已知函数f(x)=exlnx
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设x>0,求证:f(x+1)>e 2x﹣1
(3)设n∈N*,求证:ln(1×2+1)+ln(2×3+1)+…+ln[n(n+1)+1]>2n﹣3.
答案

解:(1)定义域为(0,+∞),
由f ′(x)=exlnx(lnx+1),
令f ′(x)>0,解得x>;令f "(x)<0,解得0<x<
故f(x)的增区间:(,+∞),减区间:(0,),
(2)即证:(x+1)ln(x+1)>2x-1  ln(x+1)> ln(x+1)->0
令g(x)=ln(x+1)-,由g"(x)=
令g′(x)=0,得x=2,且g(x)在(0,2)↓,在(2,+∞)↑,所以g(x)min=g(2)=ln3﹣1,
故当x>0时,有g(x)≥g(2)=ln3﹣1>0得证。
(3)由(2)得ln(x+1)>,即ln(x+1)>2-
所以ln[k(k+1)+1]>2->2-
则:ln(1×2+1)+ln(2×3+1)+…+ln[(n(n+1)]+1>(2-)+(2-)+...+[2-]=2n-3+>2n-3。.


举一反三
已知,且,求证:
题型:北京市期中题难度:| 查看答案
已知,且,求证:
题型:北京市期中题难度:| 查看答案
已知a,b∈(0,+∞),求证:(a+b)(
1
a
+
1
b
)≥4.
题型:不详难度:| 查看答案
数学中的综合法是(  )
A.由结果追溯到产生原因的思维方法
B.由原因推导到结果的思维方法
C.由反例说明结果不成立的思维方法
D.由特例推导到一般的思维方法
题型:不详难度:| 查看答案
若P表示已知条件或已有的定义、公理或定理,Q表示所得到的结论,下列框图表示的证明方法是______.

魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
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