已知函数（1）试判断f（x）的单调性，并说明理由；（2）若恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：[（n+1）!]2＞（n+1）e n﹣2，（n∈N*）．

题型：湖南省模拟题难度：来源：

已知函数
（1）试判断f（x）的单调性，并说明理由；
（2）若恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证：[（n+1）!]²＞（n+1）e ^n﹣2，（n∈N*）．

答案

（1）解：求导函数，可得=
∵x≥1，∴lnx≥0，∴f "（x）≤0，
∴函数f（x）在[1，+∞）上单调减 ∴函数f（x）的单调减区间是[1，+∞）．
（2）解：不等式，即为，
记，
所以，
令h（x）=x﹣lnx，
则，
∵x≥1，∴h"（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，从而g"（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
∴[g（x）]_min=g（1）=2，
所以k≤2
（3）证明：由（2）知：恒成立，即，
令x=n（n+1），则，
所以，，，…，．
叠加得：ln[1×2²×3²×…×n²×（n+1）]=
则1×2²×3²×…×n²×（n+1）＞e ^n﹣2，
所以 [（n+1）!]²＞（n+1）e ^n﹣2，（n∈N*）．