已知a、b、c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根．
题型：不详难度：来源：
| 已知a、b、c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一个方程有两个相异实根． |
答案
证明：反证法：
假设三个方程中都没有两个相异实根，
则△1=4b2-4ac≤0，△2=4c2-4ab≤0，△3=4a2-4bc≤0．
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0，
（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≤0．①
由题意a、b、c互不相等，∴①式不能成立．
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根． |
举一反三
用反证法证明：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎么染，至少有5个球是同色的．其假设应是（ ）| A．至少有5个球是同色的 | | B．至少有5个球不是同色的 | | C．至多有4个球是同色的 | | D．至少有4个球不是同色的 |
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用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（ ）| A．假设三内角都不大于60度 | | B．假设三内角都大于60度 | | C．假设三内角至多有一个大于60度 | | D．假设三内角至多有两个大于60度 |
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（1）已知p3+q3=2，求证p+q≤2，用反证法证明时，可假设p+q≥2；
（2）已知a，b∈R，|a|+|b|＜1，求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是（ ）| A．（1）的假设错误，（2）的假设正确 | | B．（1）与（2）的假设都正确 | | C．（1）的假设正确，（2）的假设错误 | | D．（1）与（2）的假设都错误 |
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用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，则假设的内容是（ ）| A．三角形中有两个内角是钝角 | | B．三角形中有三个内角是钝角 | | C．三角形中至少有两个内角是钝角 | | D．三角形中没有一个内角是钝角 |
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| 己知下列三个方程 x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围． |
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