已知数列{an}满足a1＝1，且4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N)．(1)求a2，a3，a4的值；(2)由(1)猜想{an}的通项公式，并给出证明

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}满足a₁＝1，且4a_n＋1－a_na_n＋1＋2a_n＝9(n∈N^)．
(1)求a₂，a₃，a₄的值；
(2)由(1)猜想{a_n}的通项公式，并给出证明．

答案

（1）a₂＝，a₃＝，a₄＝（2）a_n＝

解析

(1)由4a_n＋1－a_na_n＋1＋2a_n＝9，得a_n＋1＝＝2－，求得a₂＝，a₃＝，a₄＝.
(2)猜想a_n＝.证明：①当n＝1时，猜想成立．
②设当n＝k时(k∈N^*)时，猜想成立，即a_k＝，
则当n＝k＋1时，有a_k＋1＝2－＝2－，所以当n＝k＋1时猜想也成立．
综合①②，猜想对任何n∈N^*都成立．