设函数f(x)=x-xlnx,数列{an}满足0<a1<1,an+1=f(an).求证:(1)函数f(x)在区间(0,1)是增函数;(2)an<an+1<1.
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设函数f(x)=x-xlnx,数列{an}满足0<a1<1,an+1=f(an).求证: (1)函数f(x)在区间(0,1)是增函数; (2)an<an+1<1. |
答案
(1)见解析(2)见解析 |
解析
(1)f(x)=x-xlnx,f′(x)=-lnx,当x∈(0,1)时,f′(x)=-lnx>0,故函数f(x)在区间(0,1)上是增函数. (2)(用数学归纳法)①当n=1时,0<a1<1,a1lna1<0,a2=f(a1)=a1-a1lna1>a1. 由函数f(x)在区间(0,1)是增函数,且f(1)=1,得f(x)在区间(0,1)是增函数,a2=f(a1)=a1-a1lna1<f(1)=1,即a1<a2<1成立. ②假设当n=k(k∈N*)时,ak<ak+1<1成立, 即0<a1≤ak≤ak+1<1, 那么当n=k+1时,由f(x)在区间(0,1]上是增函数,得0<a1≤ak≤ak+1<1, 得f(ak)<f(ak+1)<f(1),而an+1=f(an),则ak+1=f(ak),ak+2=f(ak+1),即ak+1<ak+2<1,也就是说当n=k+1时,an<an+1<1也成立. 由①②可得对任意的正整数n,an<an+1<1恒成立. |
举一反三
设数列{an}:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,…,(-1)k-1k,…,(-1),即当(k∈N*)时,an=(-1)k-1k,记Sn=a1+a2+…+an(n∈N*),用数学归纳法证明Si(2i+1)=-i(2i+1)(i∈N*). |
设数列{}满足:a1=2,对一切正整数n,都有 (1)探讨数列{}是否为等比数列,并说明理由; (2)设 |
平面内有条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,当时把平面分成的区域数记为,则时 . |
下面四个判断中,正确的是( ) A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)中,当n=1时式子值为1 | B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)中,当n=1时式子值为1+k | C.式子1++…+(n∈N*)中,当n=1时式子值为1+ | D.设f(x)=(n∈N*),则f(k+1)=f(k)+ |
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