已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n),求m的最大值。
题型:不详难度:来源:
已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n),求m的最大值。 |
答案
m值等于36 |
解析
∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除. 证明:n=1,2时,由上得证,设n=k(k≥2)时, f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,则n=k+1时, f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3k+1-(2k+7)·3k =(6k+27)·3k-(2k+7)·3k =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k-2(k≥2) f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的数整除,∴所求最大的m值等于36 |
举一反三
用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( )A.n="1" | B.n="2" | C.n="3" | D.n=4 |
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已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________,由此猜想an=_________. |
若n为大于1的自然数,求证:. |
已知x,y∈Z,n∈N*,设f(n)是不等式组表示的平面区域内可行解的个数,则f(1)=_______;f(2)=_______;f(n)=_______. |
用数学归纳法证明等式对所以n∈N*均成立. |
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