设实数q满足|q|<1,数列{an}满足:a1=2,a2≠0,an·an+1=-qn,求an表达式,又如果S2n<3,求q的取值范围

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设实数q满足|q|<1,数列{an}满足:a1=2,a2≠0,an·an+1=-qn,求an表达式,又如果S2n<3,求q的取值范围
答案
-1<q<0或0<q
解析
a1·a2=-q,a1=2,a2≠0,
q≠0,a2=-,
an·an+1=-qn,an+1·an+2=-qn+1
两式相除,得,即an+2=q·an
于是,a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想:a2n+1=-qn(n=1,2,3,…)
综合①②,猜想通项公式为an=
下证:(1)当n=1,2时猜想成立
(2)设n=2k-1时,a2k1=2·qk1n=2k+1时,由于a2k+1=q·a2k1
a2k+1=2·qkn=2k-1成立.
可推知n=2k+1也成立.
n=2k时,a2k=-qk,则n=2k+2时,由于a2k+2=q·a2k,
所以a2k+2=-qk+1,这说明n=2k成立,可推知n=2k+2也成立.
综上所述,对一切自然数n,猜想都成立.
这样所求通项公式为an=
S2n=(a1+a3…+a2n1)+(a2+a4+…+a2n)
=2(1+q+q2+…+qn-1)- (q+q2+…+qn)

由于|q|<1,∴=
依题意知<3,并注意1-q>0,|q|<1解得-1<q<0或0<q
举一反三
已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.
(1)求数列{bn}的通项公式bn;
(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a>0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Snlogabn+1的大小,并证明你的结论
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已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f(n),求m的最大值。
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用数学归纳法证明3kn3(n≥3,n∈N)第一步应验证(    )
A.n="1"B.n="2"C.n="3"D.n=4

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已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_________,由此猜想an=_________.
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n为大于1的自然数,求证:.
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