数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.
题型:不详难度:来源:
数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*). (1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想. |
答案
(1)a1=1,a2= a3= a4= an=(n∈N*)(2)证明略 |
解析
(1)解 当n=1时,a1=S1=2-a1,∴a1=1. 当n=2时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=. 当n=3时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=. 当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4=. 由此猜想an=(n∈N*). (2)证明 ①当n=1时,a1=1,结论成立. ②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立,即ak=, 那么n=k+1时, ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1. ∴2ak+1=2+ak, ∴ak+1===, 这表明n=k+1时,结论成立, 由①②知猜想an=(n∈N*)成立. |
举一反三
是否存在常数a、b、c使等式12+22+32+…+n2+(n-1)2+…+22+12=an(bn2+c)对于一切n∈N*都成立,若存在,求出a、b、c并证明;若不存在,试说明理由. |
用数学归纳法证明:,由到,不等式左端变化的是 ( )A.增加一项 | B.增加和两项 | C.增加和两项,同时减少一项 | D.增加一项,同时减少一项 |
|
用数学归纳法证明:. |
已知是定义在上的不恒为零的函数,且对任意的都满足:,若,(),求证:. |
用数学归纳法证明:. |
最新试题
热门考点