数列{an}满足.(Ⅰ)求a2,a3;(Ⅱ) 求证:a1+a2+…+an=;(Ⅲ)求证:.
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数列{an}满足.(Ⅰ)求a2,a3;(Ⅱ) 求证:a1+a2+…+an=;(Ⅲ)求证:.
题型:北京模拟题
难度:
来源:
数列{a
n
}满足
.
(Ⅰ)求a
2
,a
3
;
(Ⅱ) 求证:a
1
+a
2
+…+a
n
=
;
(Ⅲ)求证:
.
答案
(Ⅰ)解:∵数列{a
n
}满足
.
∴
,
(Ⅱ)证明:由
知
,
. (1)
所以
,即
.
从而 a
1
+a
2
+…+a
n
=
=
.
(Ⅲ) 证明:
等价于证明
,即
. (2)
当n=1时,
,
,即n=1时,(2)成立.
设n=k(k≥1)时,(2)成立,即
.
当n=k+1时,由(1)知
;
又由(1)及
知
均为整数,
从而由
有
即
,
所以
,即(2)对n=k+1也成立.
所以(2)对n≥1的正整数都成立,
即
对n≥1的正整数都成立.
举一反三
已知等差数列{a
n
}的公差d大于0,且a
2
,a
5
是方程x
2
﹣12x+27=0的两根,数列{b
n
}的前n项和为T
n
,且
.
(1)求数列{a
n
}、{b
n
}的通项公式;
(2)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,试比较
的大小,并说明理由.
题型:山东省期中题
难度:
|
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已知函数f(x)=x﹣
﹣2lnx在定义域是单调函数,f′(x)是函数f(x)的导函数.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当m取得最小值时,数列{a
n
}满足:a
1
=m+3,a
n+1
=f′(
)﹣na
n
+1,n∈N*.
试证:
①a
n
>n+2;
②
+
+
+…+
<
.
题型:四川省同步题
难度:
|
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已知正项数列{a
n
}中,
.用数学归纳法证明:
.
题型:江苏期末题
难度:
|
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已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点处均可导的函数,若xf"(x)>f(x)在(0,+∞)上恒成立.
(1)①求证:函数
在(0,+∞)上是增函数;
②当x
1
>0,x
2
>0时,证明:f(x
1
)+f(x
2
)<f(x
1
+x
2
);
(2)已知不等式ln(x+1)<x在x>﹣1且x≠0时恒成立,求证:
…
.
题型:山东省月考题
难度:
|
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(1)已知函数f(x)=rx-x
r
+(1-r)(x>0),其中r为有理数,且0<r<1,求f(x)的最小值;
(2)试用(1)的结果证明如下命题:设a
1
≥0,a
2
≥0,b
1
,b
2
为正有理数,若b
1
+b
2
=1,则
≤a
1
b
1
+a
2
b
2
;
(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题。注:当α为正有理数时,有求导公式(x
α
)
′
=αx
α-1
。
题型:高考真题
难度:
|
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