已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=1-bn。(1)求数列{an}、{bn
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已知等差数列{an}的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn=1-bn。(1)求数列{an}、{bn
题型:0103 期末题
难度:
来源:
已知等差数列{a
n
}的公差d大于0,且a
2
,a
5
是方程x
2
-12x+27=0的两根,数列{b
n
}的前n项和为T
n
,且T
n
=1-
b
n
。
(1)求数列{a
n
}、{b
n
}的通项公式;
(2)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,试比较
与S
n+1
的大小,并说明理由。
答案
解:(1)由
,
又∵
的公差d大于0,
∴
,
从而
,
,
∴
。
又已知
,令n=1,得
,∴
,
由
,当n≥2时,
,
两式相减,得
,
(n≥2),
∴
。
(2)∵
,
∴
,
,
以下比较
与
的大小:
当n=1时,
,
;
当n=2时,
,
;
当n=3时,
,
;
当n=4时,
,
;
猜想:n≥4时,
,
下面用数学归纳法证明:
①当n=4时,已证;
②假设n=k(k∈N*,k≥4)时,
,即
,
那么,n=k+1时,
,
∴n=k+1时,
也成立,
由①②可知,n∈N*,n≥4时,
;
综上所述,当n=1,2,3时,
;当n≥4时,
。
举一反三
已知数列{a
n
}满足:a
1
=3,
,n∈N*,记
。
(I)求证:数列{b
n
}是等比数列;
(Ⅱ)若a
n
≤t·4
n
对任意n∈N*恒成立,求t的取值范围;
(Ⅲ)记
,求证:C
1
·C
2
·…· C
n
>
。
题型:0112 模拟题
难度:
|
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已知a,b为正数,n∈N*,证明不等式:
≤
。
题型:湖北省期中题
难度:
|
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已知数列{a
n
}满足:a
1
=
,且a
n
=
(n≥2,n∈N*)。
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数n,不等式a
1
·a
2
·……a
n
<2·n!。
题型:0116 期中题
难度:
|
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用数学归纳法证明不等式
(n∈N*)成立, 其初始值至少应取
[ ]
A.7
B.8
C.9
D.10
题型:辽宁省模拟题
难度:
|
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已知数列{a
n
}中,
,当n≥2时,3a
n+1
=4a
n
-a
n-1
(n∈N*),
(Ⅰ)证明:{a
n+1
-a
n
}为等比数列;
(Ⅱ)求数列{a
n
}的通项;
(Ⅲ)若对任意n∈N*有λa
1
a
2
a
3
…a
n
≥1(λ∈N*)均成立,求λ的最小值。
题型:陕西省模拟题
难度:
|
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