【题文】函数
的定义域为
,若存在闭区间[m,n]
D,使得函数
满足:①
在[m,n]上是单调函数;②
在[m,n]上的值域为[2m,2n],则称区间[m,n]为
的
“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有
(填上所有正确的序号)
①
; ②
;
③
; ④
【解析】解:函数中存在“倍值区间”,则:①f(x)在[a,b]内是单调函数;②
f(a)="2a," f(b)=2b或f(a)="2b," f(b)=2a
①f(x)=x
2(x≥0),若存在“倍值区间”[a,b],则
A=0,b=2
∴f(x)=x
2(x≥0),若存在“倍值区间”[0,2];
②f(x)=e
x(x∈R),若存在“倍值区间”[a,b],则f(a)="2a," f(b)=2b
构建函数g(x)=e
x-x,∴g′(x)=e
x-1,∴函数在(-∞,0)上单调减,在(0,+∞)上单调增,∴函数在x=0处取得极小值,且为最小值.∵g(0)=1,∴,g(x)>0,∴e
x-x=0无解,故函数不存在“倍值区间”;
③f(x)=
若存在“倍值区间”[a,b]?[0,1],则f(a)="2a," f(b)=2b
∴a=0,b=1,若存在“倍值区间”[0,1];
④f(x)=log
a(a
x-
),log
a(a
m-)=2m,log
a(a
n-
)="2n" (a>0,a≠1).不妨设a>1,则函数在定义域内为单调增函数
若存在“倍值区间”[m,n],则log
a(a
n-
)=2n,log
a(a
m-)=2m
∴2m,2n是方程log
a(a
x-
)=2x的两个根,∴2m,2n是方程a
2x-a
x+
=0的两个根,由于该方程有两个不等的正根,故存在“倍值区间”[m,n];综上知,所给函数中存在“倍值区间”的有①③④
故选C.