【题文】已知函数 的定义域是 , 是 的导函数,且 在上恒成立(Ⅰ)求函数 的单调区间。(Ⅱ)若函数 ,求实数a的取值范围(Ⅲ)设 是 的零点 , ,求证: .
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【题文】已知函数
的定义域是
,
是
的导函数,且
在
上恒成立
(Ⅰ)求函数
的单调区间。
(Ⅱ)若函数
,求实数a的取值范围
(Ⅲ)设
是
的零点 ,
,求证:
.
答案
【答案】(Ⅰ)
的单增区间是
,无单减区间;(Ⅱ)
;(Ⅲ)见解析
解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)利用导数的运算法则求出
的导数,根据已知条件
判断出
在定义上正负,从而求出
的单调区间;(Ⅱ)求出
的导数
,将
与
代入
,将条件具体化,根据
在
上恒成立,通过参变分离化为
在
上恒成立,利用导数求出
最大值M,从而得出实数a的取值范围a>M;
(Ⅲ)由
是
的零点知,
是
的零点,由(Ⅰ)知
在(0,+
)是单调增函数,得出当
时,
,即
,即
<0,在利用
的单调性得出
,利用不等式性质得出
与
的关系,即可得出所证不等式.
试题解析:(Ⅰ)
因为
在
上恒成立
所以
在
上恒成立
所以
的单增区间是
,无单减区间 (3分)
(Ⅱ)
因为
在
上恒成立
所以
在
上恒成立
即
在
上恒成立 (4分)
设
则
令
得
当
时,
;当
时,
故函数
在
上单调递增,在
上单调递减,
所以
,所以
. (8分)
(Ⅲ)因为
是
的零点,所以
由(Ⅰ)知,
在
上单调递增,
所以当
时,
,即
所以当
时,
因为
,所以
,且
即
所以
所以
(12分)
考点:常见函数的导数,导数的运算法则,函数单调性与导数间关系,导数的综合运用,推理论证能力
举一反三
【题文】函数y=
的值域是
_________ .
【题文】函数y=
的值域是
_________ .
【题文】已知函数
.
(1)求
的定义域;
(2)若角
在第一象限且
,求
的值.
【题文】函数
的定义域为___________.
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