【题文】(本小题满分12分)已知函数的定义域为,且对任意,都有,当时,恒成立.求证:(1)函数是奇函数;(2)函数在上是减函数.

【题文】(本小题满分12分)已知函数的定义域为,且对任意,都有,当时,恒成立.求证:(1)函数是奇函数;(2)函数在上是减函数.

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【题文】(本小题满分12分)已知函数的定义域为,且对任意,都有,当时,恒成立.
求证:(1)函数是奇函数;
(2)函数上是减函数.
答案
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
解析
【解析】
试题分析:
解题思路:(1)因为要证明奇偶性,需要证明,因而利用赋值法出现上式,关键要利用赋值法求出的值;(2)将写成是变形的关键.
规律总结:抽象函数的奇偶性或单调性的判定,要灵活将所给条件与奇偶性或单调性的定义结合在一起,恰当利用赋值法等进行变形,进而解决问题.
试题解析:(1)由

(2)设,则 

函数上单调递减.   
也可用(1)题的结论证明.
考点:抽象函数的奇偶性与单调性.
举一反三
【题文】给出下列命题:
①已知集合M满足,且M中至多有一个偶数,这样的集合M有6个;
②函数,在区间上为减函数,则的取值范围为
③已知函数,则
④如果函数的图象关于y轴对称,且
则当时,
其中正确的命题的序号是               
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【题文】函数的增区间是(    )
A.(,-4]B.[-4, C.(,4]D.[4,
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【题文】若函数在R上单调递增且的取值范围是(   )
A.B.C.D.
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【题文】已知函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,并且函数f(x)是偶函数,那么下列式子一定成立的是(     )
A.f(-1)<f(9)<f(13)
B.f(13)<f(9)<f(-1)
C.f(9)<f(-1)<f(13)
D.f(13)<f(-1)<f(9)
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【题文】已知函数
(1)判断函数的单调性并证明;
(2)求函数的最大值,最小值
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