【题文】已知函数,当时,恒有.(1)求证:;(2)若,试用表示;(3)如果时,且,试求在区间上的最大值和最小值.
题型:难度:来源:
【题文】已知函数
,当
时,恒有
.
(1)求证:
;
(2)若
,试用
表示
;
(3)如果
时,
且
,试求
在区间
上的最大值和最小值.
答案
【答案】(1)见解析;(2)-8a;(3)最大值1,最小值-3.
解析
【解析】
试题分析:(1)令x=y=0,利用已知可得f(0)=0.再令y=-x,则f(-x)=-f(x).(2)利用奇函数的性质由f(-3)=a=-f(3),可得f(3)=-a,进而得到f(6)=2f(3),f(12)=2f(6),f(24)=2f(12).(3)先利用定义证明f(x)在R上单调递减.设
则
.利用已知可得
.进而得到
,然后通过所给函数值
,求得最小值f(6),最大值f(-2)即可.
试题解析:(1)令
得
,
再令
得
(2) 由
(3)设
,且
,
则
=
,
,
在R上是减函数,
,
.
考点:抽象函数及其应用;函数单调性的性质;函数奇偶性的判断;函数的值.
举一反三
【题文】函数
的单调增区间是( )
【题文】若定义在
上的偶函数
满足“对任意
,且
,都有
”,则
与
的大小关系为( )
【题文】函数
的最大值为( )
【题文】(本小题满分12分)用单调性定义证明:函数
在
上是增函数.
(参考公式:
)
【题文】(本小题满分12分)已知二次函数f(x)满足条件:
,
(1)求
;
(2)讨论二次函数
在闭区间
(
)上的最小值.
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