【题文】已知函数，，其中．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若存在，使得成立，求实数M的最大值；（3）若对任意的，都有，求实数的取值范围．

题型：难度：来源：

【题文】已知函数，，其中．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若存在，使得成立，求实数M的最大值；
（3）若对任意的，都有，求实数的取值范围．

答案

【答案】（1）；（2）；（3）。

解析

【解析】
试题分析：（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用点斜式求出切线的方程；（2）由题意知要使不等式成立，需要比左边的最小值即可，要求的最小值，只需求在上的最小值与最大值然后作差。（3）由题意知，应求的最大值，的最小值，在求的最小值时，令得，或，根据与区间的关系分情况讨论。
试题解析：（1）当时，，，
，，
所以所求切线方程为，即．       2分
（2），．令，得，．
当x变化时，与的变化情况如下：

x	0				2
		－	0	＋
			极小值		1

所以，．
因为存在，使得成立，
所以．所以实数M的最大值为．    8分
（3）由（2）知，在上，，所以．
．
（