【题文】已知函数。(1)当时,求曲线在处切线的斜率;(2)求的单调区间;(3)当时,求在区间上的最小值。
题型:难度:来源:
【题文】已知函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234338-74914.png)
。
(1)当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234339-13615.png)
时,求曲线
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234339-21378.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234340-62044.png)
处切线的斜率;
(2)求
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234340-66513.png)
的单调区间;
(3)当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234341-97317.png)
时,求
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234340-66513.png)
在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234341-36960.png)
上的最小值。
答案
【答案】(1)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234341-59203.png)
;(2)当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234341-43725.png)
时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234340-66513.png)
的单调递减区间为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234342-45594.png)
;当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234341-97317.png)
时,函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234340-66513.png)
的单调递减区间为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234342-18224.png)
,单调递增区间为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234342-94434.png)
。(3)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234343-63248.png)
;
解析
【解析】
试题分析:(1)把
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234339-13615.png)
代入函数解析式中,求出函数的导数,把
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234340-62044.png)
代入导函数中去即得切线的斜率
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234343-54403.png)
;(2)求出导函数,导函数中含有参数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234343-29780.png)
,要对
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234343-29780.png)
进行讨论,然后令导函数大于0得增区间,令导函数小于0得减区间;(3)利用(2)中求得的单调区间来求函数的最值即可,但要对
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234343-29780.png)
在范围
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234341-36960.png)
内进行讨论;
试题解析:解:(1)当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234339-13615.png)
时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234343-48261.png)
, 2分
故曲线
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234339-21378.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234340-62044.png)
处切线的斜率为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234341-59203.png)
。 4分
(2)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234343-65513.png)
。 6分
①当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234341-43725.png)
时,由于
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234344-67563.png)
,故
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234344-92572.png)
。
所以,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234340-66513.png)
的单调递减区间为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234342-45594.png)
。 8分
②当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234341-97317.png)
时,由
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234345-99159.png)
,得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234345-65799.png)
。
在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234342-18224.png)
上,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234345-68328.png)
,在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234342-94434.png)
上,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234346-11267.png)
。
所以,函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234340-66513.png)
的单调递减区间为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234342-18224.png)
,单调递增区间为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234342-94434.png)
。 10分
综上,当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234341-43725.png)
时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234340-66513.png)
的单调递减区间为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234342-45594.png)
;当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234341-97317.png)
时,函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234340-66513.png)
的单调递减区间为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234342-18224.png)
,单调递增区间为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234342-94434.png)
。 11分
(3)根据(2)得到的结论,当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234346-40256.png)
,即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234347-78078.png)
时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234340-66513.png)
在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234341-36960.png)
上的最小值为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234347-35906.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234348-84282.png)
。 13分
当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234348-79917.png)
,即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234348-16070.png)
时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234340-66513.png)
在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234341-36960.png)
上的最小值为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234348-49784.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234348-89899.png)
。
综上,当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234347-78078.png)
时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234340-66513.png)
在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234341-36960.png)
上的最小值为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234349-80985.png)
,当
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234348-16070.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234340-66513.png)
在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234341-36960.png)
上的最小值为
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234343-63248.png)
。 14分
考点:1、函数导数的几何意义;2、函数的单调性及最值问题;
举一反三
【题文】已知函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234312-29393.png)
。
(1)求
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234312-41600.png)
的单调区间;
(2)若
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234312-41600.png)
在区间
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234313-50434.png)
上的最小值为e,求k的值。
【题文】已知函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234214-77440.png)
,若对于任意的
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234215-87243.png)
都有
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234215-69505.png)
,则实数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234216-60424.png)
的取值范围为
.
【题文】已知
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234147-36686.png)
,则下列不等式一定成立的是( ).
【题文】已知函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234138-73035.png)
与函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234139-51060.png)
的图象关于
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234140-33615.png)
轴对称,若存在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234140-20469.png)
,使
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234140-12509.png)
时,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234141-20566.png)
成立,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200325/20200325234141-15002.png)
的最大值为( )
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