如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．（1）求证：△COM∽△CBA；（2）求线段OM的长度．

题型：不详难度：来源：

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．
（1）求证：△COM∽△CBA；
（2）求线段OM的长度．

答案

（1）见解析（2）

解析

试题分析：（1）证明：∵沿直线MN对折，使A、C重合
∴A与C关于直线MN对称，
∴AC⊥MN，
∴∠COM=90°．
在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠COM=∠B，
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△COM∽△CBA；
（2）解：∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∴OC=5，
∵△COM∽△CBA，
∴

，
∴OM=

．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质，解题的关键是仔细分析并找到相等的角来证得相似三角形．

举一反三

△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．

（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的