试题分析:(Ⅰ)根据题意,∠OBP=90°,OB=6, 在Rt△OBP中,由∠BOP=30°,BP=t,得OP=2t. ∵OP2=OB2+BP2, 即(2t)2=62+t2, 解得:t1=2,t2=﹣2(舍去). ∴点P的坐标为(,6). (Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的, ∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP, ∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC, ∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°, ∴∠OPB+∠QPC=90°, ∵∠BOP+∠OPB=90°, ∴∠BOP=∠CPQ. 又∵∠OBP=∠C=90°, ∴△OBP∽△PCQ, ∴, 由题意设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则PC=11﹣t,CQ=6﹣m. ∴. ∴m=(0<t<11). (Ⅲ)过点P作PE⊥OA于E, ∴∠PEA=∠QAC′=90°, ∴∠PC′E+∠EPC′=90°, ∵∠PC′E+∠QC′A=90°, ∴∠EPC′=∠QC′A, ∴△PC′E∽△C′QA, ∴, ∵PC′=PC=11﹣t,PE=OB=6,AQ=m,C′Q=CQ=6﹣m, ∴AC′==, ∴, ∴, ∴3(6﹣m)2=(3﹣m)(11﹣t)2, ∵m=, ∴3(﹣t2+t)2=(3﹣t2+t﹣6)(11﹣t)2, ∴t2(11﹣t)2=(﹣t2+t﹣3)(11﹣t)2, ∴t2=﹣t2+t﹣3, ∴3t2﹣22t+36=0, 解得:t1=,t2=, 点P的坐标为(,6)或(,6).
点评:此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识.此题难度较大,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意数形结合思想与方程思想的应用. |