如图所示,在形状和大小不确定的△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,P在EF或EF的延长线上,BP交CE于D,Q在CE上且BQ平分∠CBP,设BP
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如图所示,在形状和大小不确定的△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,P在EF或EF的延长线上,BP交CE于D,Q在CE上且BQ平分∠CBP,设BP
题型:不详
难度:
来源:
如图所示,在形状和大小不确定的△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,P在EF或EF的延长线上,BP交CE于D,Q在CE上且BQ平分∠CBP,设BP=y,PE=x.
(1)当x=
EF时,求S
△
DPE
:S
△
DBC
的值;
(2)当CQ=
CE时,求y与x之间的函数关系式;
(3)①当CQ=
CE时,求y与x之间的函数关系式;
②当CQ=
CE(n为不小于2的常数)时,直接写出y与x之间的函数关系式.
答案
(1)1:36 (2)y=6﹣x (3)y=6(n﹣1)﹣x
解析
试题分析:(1)∵E、F分别是AB、AC的中点,x=
EF,
∴EF∥BC,且EF=
BC,
∴△EDP∽△CDB,
∴
=
,
∴S
△
DPE
:S
△
DBC
=1:36;
(2)如右图,设CQ=a,DE=b,BD=c,则DP=y﹣c;
不妨设EQ=kCQ=ka(k>0),则DQ=ka﹣b,CD=(k+1)a﹣b.
过Q点作QM⊥BC于点M,作QN⊥BP于点N,
∵BQ平分∠CBP,
∴QM=QN.
∴
,
又∵
,
∴
,即
①
∵EP∥BC,∴
,即
②
∵EP∥BC,∴
,即
③
由①②③式联立解得:y=6k﹣x ④
当CQ=
CE时,k=1,
故y与x之间的函数关系式为:y=6﹣x.
(3)当CQ=
CE时,k=2,由(2)中④式可知,y与x之间的函数关系式为:y=12﹣x;
当CQ=
CE(n为不小于2的常数)时,k=n﹣1,由(2)中④式可知,y与x之间的函数关系式为:y=6(n﹣1)﹣x.
点评:本题综合考查了相似三角形线段之间的比例关系、三角形中位线定理和角平分线性质等重要知识点,难度较大.在解题过程中,涉及到数目较多的线段和较为复杂的运算,注意不要出错.本题第(2)(3)问,采用了从一般到特殊的解题思想,简化了解答过程;同学们亦可尝试从特殊到一般的解题思路,即当CQ=
CE时,CQ=
CE时分别探究y与x的函数关系式,然后推广到当CQ=
CE(n为不小于2的常数)时的一般情况.
举一反三
如图,正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,DE=CF,AF与BE相交于O,DG⊥AF,垂足为G.
(1)求证:AF⊥BE;
(2)试探究线段AO、BO、GO的长度之间的数量关系;
(3)若GO:CF=4:5,试确定E点的位置.
题型:不详
难度:
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已知:如图,四边形ABCD是正方形,BD是对角线,BE平分∠DBC交DC于E点,交DF于M,F是BC延长线上一点,且CE=CF.
(1)求证:BM⊥DF;
(2)若正方形ABCD的边长为2,求ME•MB.
题型:不详
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如图1,在菱形ABCD中,AC=2,BD=2
,AC,BD相交于点O.
(1)求边AB的长;
(2)如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60°角的两边分别与边BC,CD相交于点E,F,连接EF与AC相交于点G.
①判断△AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由;
②旋转过程中,当点E为边BC的四等分点时(BE>CE),求CG的长.
题型:不详
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如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=2cm,AC=4cm.动点P从点A出发,沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动,动点Q从点B同时出发,沿BA方向以1cm/s的速度向点A运动.当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动,以AP为一边向上作正方形APDE,过点Q作QF∥BC,交AC于点F.设点P的运动时间为ts,正方形和梯形重合部分的面积为Scm
2
.
(1)当t=
_________
s时,点P与点Q重合;
(2)当t=
_________
s时,点D在QF上;
(3)当点P在Q,B两点之间(不包括Q,B两点)时,求S与t之间的函数关系式.
题型:不详
难度:
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如图1所示:等边△ABC中,线段AD为其内角角平分线,过D点的直线B
1
C
1
⊥AC于C
1
交AB的延长线于B
1
.
(1)请你探究:
,
是否都成立?
(2)请你继续探究:若△ABC为任意三角形,线段AD为其内角角平分线,请问
一定成立吗?并证明你的判断.
(3)如图2所示Rt△ABC中,∠ACB=90︒,AC=8,AB=
,E为AB上一点且AE=5,CE交其内角角平分线AD于F.试求
的值.
题型:不详
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