试题分析:(1)∵四边形ABCD是菱形, ∴△AOB为直角三角形,且OA=AC=1,OB=BD=. 在Rt△AOB中,由勾股定理得: AB===2. (2)①△AEF是等边三角形.理由如下: ∵由(1)知,菱形边长为2,AC=2, ∴△ABC与△ACD均为等边三角形, ∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°,又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°, ∴∠BAE=∠CAF. 在△ABE与△ACF中, ∵, ∴△ABE≌△ACF(ASA), ∴AE=AF, ∴△AEF是等腰三角形, 又∵∠EAF=60°, ∴△AEF是等边三角形. ②BC=2,E为四等分点,且BE>CE, ∴CE=,BE=. 由①知△ABE≌△ACF, ∴CF=BE=. ∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°(三角形内角和定理), ∠AEG=∠FCG=60°(等边三角形内角), ∠EGA=∠CGF(对顶角) ∴∠EAC=∠GFC. 在△CAE与△CFG中, ∵, ∴△CAE∽△CFG(AA), ∴,即, 解得:CG=. 点评:本题是几何综合题,综合考查了相似三角形、全等三角形、四边形(菱形)、三角形(等边三角形和等腰三角形)、勾股定理等重要知识点.虽然涉及考点众多,但本题着重考查基础知识,难度不大,需要同学们深刻理解教材上的基础知识,并能够熟练应用. |