试题分析:(1)证明:在△BCE和△DCF中, ∵, ∴△BCE≌△DCF(SAS), ∴∠EBC=∠FDC(全等三角形的对应边相等),即∠EBC=∠EDM, 在△BCE和△DME中, ∵, ∴△BCE∽△DME, ∴∠BCE=∠DME=90°(相似三角形的对应角相等),即BM⊥DF; (2)解:∵BC=2, ∴BD=2. 又∵BE平分∠DBC交DF于M,BM⊥DF, ∴BD=BF(等腰三角形“三合一”的性质),DM=FM, ∴CF=2﹣2. 在△BMF和△DME中, ∠MBF=∠MDE,∠BMF=∠DME=90°, ∴△BMF∽△DME, ∴=, ∴=,即ME•MB=MD2, ∵DC2+FC2=(2DM)2,即22+(2﹣2)2=4DM2, ∴DM2=4﹣2,即ME•MB=4﹣2.
点评:本题综合考查了全等三角形、正方形、相似三角形的有关知识.等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决,但要注意纠正不顾条件,一概依赖全等三角形的思维定势,凡可以直接利用等腰三角形的问题,应当优先选择简便方法来解决. |