(1)证明:连结CP,作⊙O的直径AF,连结PF,则∠APF=90° ∵AC切于⊙O于C ∴∠ACP=90°=∠APF 又∵∠PBC=∠BAP+∠BPA (1分) 连结FB,则∠AFB=∠BPA,∠BFP=∠BAP ∴∠PBC=∠BAP+∠BPA=∠AFB+∠BFP=∠AFP (2分) (此处也可用圆内接四边形的定理求出) ∴△APF∽△PCB ∴,∵AF=2R,PC=r, ∴, ∴ (4分) (2)解:∵⊙O和⊙P的面积比为9:4 ∴ R : r="3" : 2 (5分) ∴ ∴,即PC=4 (6分) 在Rt△APC 中 (7分) 连结CE,∵∠CAD=∠EAC,∠ACD=∠AEC ∴△AEC∽△ACD ∴, (8分) ∴ ∴ (9分) ∴或 ∵线段长不为负数,∴ (10分) (3)解:sin∠PDA=sin∠PFA= (12分) ∵,R= ∴AF=12 ∴sin∠PDA= (14分) 本题综合考查了相似三角形是判定与性质、圆内接四边形的性质及切线的性质. 解第(1)、(2)问的解决运用了以下知识:切线的性质,圆周角定理的推论,圆的内接四 边形的性质.由此可以看出在两圆的位置关系问题中,综合知识的运用是至关重要的;第 (3)利用三角函数求解 |