【题文】已知函数f(x)= (a是常数且a>0).对于下列命题:①函数f(x)的最小值是-1;②函数f(x)在R上是单调函数;③若f(x)>
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【题文】已知函数f(x)=
(a是常数且a>0).对于下列命题:
①函数f(x)的最小值是-1;
②函数f(x)在R上是单调函数;
③若f(x)>0在[
,+∞)上恒成立,则a的取值范围是a>1;
④对任意x
1<0,x
2<0且x
1≠x
2,恒有f(
)<
.
其中正确命题的所有序号是________.
答案
【答案】①③④
解析
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示,显然f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的最小值为f(0)=-1,故命题①正确;
显然,函数f(x)在R上不是单调函数,②错误;
因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)在[
,+∞)上的最小值为f(
)=2a×
-1=a-1,所以若f(x)>0在[
,+∞)上恒成立,则a-1>0,即a>1,故③正确;
由图象可知,在(-∞,0)上,对任意x
1<0,x
2<0且x
1≠x
2,恒有f(
)<
成立,故④正确.
举一反三
【题文】已知函数y=
+
的最大值为M,最小值为m,则
的值为( )
【题文】若函数f(x)=a
|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=
,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2] | B.[2,+∞) |
C.[-2,+∞) | D.(-∞,-2] |
【题文】y=f(x)是定义在R上的偶函数且在[0,+∞)上递增,不等式f(
)<f(-
)的解集为________.
【题文】已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},对定义域内的任意x
1、x
2,都有f(x
1·x
2)=f(x
1)+f(x
2),且当x>1时,f(x)>0.
(1)求证:f(x)是偶函数;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
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