【题文】(本小题满分14分)已知定义域为的函数是奇函数
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【题文】(本小题满分14分)已知定义域为
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的函数
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是奇函数
⑴求函数
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的解析式;
⑵判断并证明函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040718-68336.png)
的单调性;
⑶若对于任意的
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040719-20132.png)
,不等式
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040719-48507.png)
恒成立,求
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040719-47427.png)
的取值范围.
答案
【答案】(1)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040720-14332.png)
(2)减函数,证明见解析(3)
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解析
【解析】
试题分析:⑴∵
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为奇函数,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040720-91164.png)
即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040721-41050.png)
, 解得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040721-21854.png)
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040720-14332.png)
,检验得
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040722-15362.png)
,满足条件. …4分
⑵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040722-42859.png)
为
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上的减函数
证明:设
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040723-47985.png)
则
∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040723-65465.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040725-43964.png)
即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040725-56309.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040718-68336.png)
为减函数 …8分
⑶∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040719-48507.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040724-43386.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040726-12216.png)
∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040718-68336.png)
为奇函数,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040726-51962.png)
,
则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040726-74042.png)
.
又
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040718-68336.png)
为减函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040724-43386.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040727-53447.png)
即
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040727-13909.png)
恒成立,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040728-64318.png)
时显然不恒成立,
所以
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040728-59437.png)
…14分
考点:本小题主要考查利用奇偶性求函数解析式,判断并证明函数的单调性,利用函数的单调性求解抽象不等式以及恒成立问题.
点评:如果奇函数在
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处有意义,则
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这一性质在解题时可以简化运算,特别好用,另外在用定义证明单调性时一定要把结果化到最简,尽量不要用已知函数的单调性来判断未知函数的单调性.解抽象不等式,关键是利用单调性“脱去”外层符号,得出具体的不等式,这一过程中要注意定义域是否有影响.
举一反三
【题文】设函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040708-43966.png)
,对任意
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040708-82664.png)
,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040708-66153.png)
恒成立,则实数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040709-21298.png)
的取值范围是
【题文】函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040700-11156.png)
的单调递减区间是( )
【题文】 函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040649-88760.png)
是在定义域上的单调递减函数,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040649-74799.png)
的取值范围为____
.
【题文】 已知函数
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040619-44439.png)
在
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040619-80018.png)
上是增函数,则
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20200326/20200326040620-21700.png)
的取值范围是( )
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