【题文】已知定义在R上的奇函数,当时,.若关于的不等式的解集为,函数在上的值域为,若“”是“”的充分不必要条件,则实数的取值范围是__________.
题型:难度:来源:
【题文】已知定义在R上的奇函数
,当
时,
.若关于
的不等式
的解集为
,函数
在
上的值域为
,若“
”是“
”的充分不必要条件,则实数
的取值范围是__________.
答案
【答案】[-2,0]
解析
【解析】不难知x≥0时,f(x)是增函数,且f(0)=0,于是由f(x)是奇函数可得,f(x)在R上都是增函数.
于是f(x)在[-8,8]上的值域为B=[f(-8),f(8)]=[-2,2]
由f[x
2+a(a+2)]≤f(2ax+2x),且f(x)是增函数得x
2+a(a+2)≤2ax+2x,即x
2-2(a+1)x+a(a+2)≤0
x∈[a,a+2],即A=[a,a+2],
由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,可知A
B,
于是
且两个等号不同时成立,得a∈[-2,0]
考点:函数的单调性、奇偶性、充要条件的综合应用
举一反三
【题文】给出两个函数性质:
性质1:
是偶函数;
性质2:
在
上是减函数,在
上是增函数;
对于函数:①
;②
; ③
,
上述两个函数性质都具有的所有函数的序号是
.
【题文】设
是定义在实数集
上的函数,且满足下列关系
,
,则
是( ).
A.偶函数,但不是周期函数 | B.偶函数,又是周期函数 |
C.奇函数,但不是周期函数 | D.奇函数,又是周期函数 |
【题文】定义在
上的任意函数
都可以表示成一个奇函数
和一个偶函数
之和,若
,那么 ( )
【题文】已知
(1)判断
奇偶性并证明;
(2)判断
单调性并用单调性定义证明;
(3)若
,求实数
的取值范围.
【题文】设
,
(1)若
为偶函数,求实数
的值;
(2)记
的最小值为
,求
的表达式.
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