【题文】已知函数是定义在上的奇函数,且,若,,则有.(1)判断的单调性,并加以证明;(2)解不等式;(3)若对所有,恒成立,求实数的取值范围.
题型:难度:来源:
【题文】已知函数
是定义在
上的奇函数,且
,若
,
,则有
.
(1)判断
的单调性,并加以证明;
(2)解不等式
;
(3)若
对所有
,
恒成立,求实数
的取值范围.
答案
【答案】(1)增函数,证明过程见解析,(2)
,(3)
或
或
。
解析
【解析】
试题分析:(1)根据单调函数的定义,先取值:任取
,且
,然后根据已知条件结合赋值法得
,再根据奇函数的定义得
,
在
上单增。(2)根据(1)中的单调性,去掉
,要注意函数的定义域,可得
,解该不等式求得
的范围。(3)这是一个不等式恒成立问题,结合(1)可知该不等式可转化为
对任意
恒成立,然后构造函数
,
,这是关于
的一次函数,只需保证
即可。
试题解析:(1)证:任取
,且
,则
由题意
因为
为奇函数,所以
所以
,即
,所以
在
上单增 4分
(2)由题意得
, 所以
,故该不等式的解集为
8分
(3)由
在
上单增,
,由题意,
,
即
对任意
恒成立,令
,
, 所以
或
或
综上所述,
或
或
12分
考点:(1)单调函数的定义、奇函数的定义,(2)利用函数的单调性求范围,(3)构造函数解决一元二次不等式恒成立问题。
举一反三
【题文】定义行列式运算
,将函数
的图象向左平移t(t>0)个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则t的最小值为______.
【题文】已知
是定义在
上的偶函数,且在区间
上是增函数,设
,
,
,则
的大小关系是( )
【题文】设
是定义在
上的奇函数,且
,当
时,有
恒成立,则不等式
的解集为 ( )
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