【题文】(本小题满分12分)已知函数的定义域为,且对任意,都有,当时,恒成立.求证:(1)函数是奇函数;(2)函数在上是减函数.
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【题文】(本小题满分12分)已知函数
的定义域为
,且对任意
,都有
,当
时,
恒成立.
求证:(1)函数
是奇函数;
(2)函数
在
上是减函数.
答案
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
解析
【解析】
试题分析:
解题思路:(1)因为要证明奇偶性,需要证明
,因而利用赋值法出现上式,关键要利用赋值法求出
的值;(2)将
写成
是变形的关键.
规律总结:抽象函数的奇偶性或单调性的判定,要灵活将所给条件与奇偶性或单调性的定义结合在一起,恰当利用赋值法等进行变形,进而解决问题.
试题解析:(1)由
(2)设
,则
函数
在
上单调递减.
也可用(1)题的结论证明.
考点:抽象函数的奇偶性与单调性.
举一反三
【题文】若
为R上的奇函数,给出下列四个说法:
①
②
③
④
其中一定正确的有( )
【题文】下列说法错误的是( )
A.偶函数的图象关于y轴对称 |
B.是偶函数 |
C.是奇函数 |
D.奇函数的图象关于原点中心对称 |
【题文】已知函数
.
(1)判断函数
的奇偶性,并证明你的结论;
(2)求证:
是R上的增函数;
(3)若
,求
的取值范围.(参考公式:
)
【题文】给出下列四个命题:
①函数
在
上单调递增;
②若函数
在
上单调递减,则
;
③若
,则
;
④若
是定义在
上的奇函数,则
.
其中正确的序号是
.
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