【题文】(12分)设,且.(1)求的解析式;(2)判断在上的单调性并用定义证明;(3)设,求集合.
题型:难度:来源:
【题文】(12分)设
,且
.
(1)求
的解析式;
(2)判断
在
上的单调性并用定义证明;
(3)设
,求集合
.
答案
【答案】(1)
;(2)
上单调递减,证明见解析;(3)
解析
【解析】
试题分析:(1)根据题意将
代入
,进而求得
,得到
的解析式;(2)利用(1)求得
的解析式,再利用函数单调性的定义其单调性:在
内任取
且
,进而用作差法比较
和
的大小,进而得到结论;(3)方程
即为
有两个不同的解,令
,此函数为复合函数,令
用换元法,转化为方程
在
内有两个不同的解,分离变量为:
,进而转化为求关于
的二次函数的值域问题,得到
的取值范围.
试题解析:(1)∵
,且
∴
,
∵
,∴
(2)
上单调递减,证明如下:
设
∵
∴
∴
∴
,∴
∴
∴
上单调递减
(3)方程为
,令
,则
方程
在
内有两个不同的解
由图知
时,方程有两个不同解
∴
考点:1.函数的解析式;2.证明函数的单调性;3.二次函数的最值.
举一反三
【题文】若函数
的零点为
,则满足
且k为整数,则k=
.
【题文】已知
定义在
上的奇函数,当
时,
,则函数
的
零点的集合为
.
【题文】函数
的零点所在区间是( )
【题文】已知关于
的方程
有实根.
(1)求
的值;
(2)若关于
的方程
的所有根均为整数,求整数
的值.
【题文】(12分)已知关于
的方程
有一个根不大于
,另一个根不小于
.
(1)求实数
的取值范围;
(2)求方程两根平方和的最值.
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