【题文】(12分)设,且.(1)求的解析式;(2)判断在上的单调性并用定义证明;(3)设,求集合.

【题文】(12分)设,且.(1)求的解析式;(2)判断在上的单调性并用定义证明;(3)设,求集合.

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【题文】(12分)设,且.
(1)求的解析式;
(2)判断上的单调性并用定义证明;
(3)设,求集合.
答案
【答案】(1);(2)上单调递减,证明见解析;(3)
解析
【解析】
试题分析:(1)根据题意将代入,进而求得,得到的解析式;(2)利用(1)求得的解析式,再利用函数单调性的定义其单调性:在内任取,进而用作差法比较的大小,进而得到结论;(3)方程即为有两个不同的解,令,此函数为复合函数,令用换元法,转化为方程内有两个不同的解,分离变量为:,进而转化为求关于的二次函数的值域问题,得到的取值范围.
试题解析:(1)∵,且

,∴
(2)上单调递减,证明如下:


 ∴
,∴
     ∴上单调递减
(3)方程为,令,则
方程内有两个不同的解


由图知时,方程有两个不同解

考点:1.函数的解析式;2.证明函数的单调性;3.二次函数的最值.
举一反三
【题文】若函数的零点为,则满足且k为整数,则k=     
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【题文】已知定义在上的奇函数,当时,,则函数
零点的集合为        .
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【题文】函数的零点所在区间是(   )
A.B.C.D.
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【题文】已知关于的方程有实根.
(1)求的值;
(2)若关于的方程的所有根均为整数,求整数的值.
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【题文】(12分)已知关于的方程有一个根不大于,另一个根不小于.
(1)求实数的取值范围;
(2)求方程两根平方和的最值.
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