一路灯距地面的高度为h,身高为l的人以速度v匀速行走,如图所示。(1)试证明人的头顶的影子作匀速运动;(2)求人影的长度随时间的变化率。

一路灯距地面的高度为h,身高为l的人以速度v匀速行走,如图所示。(1)试证明人的头顶的影子作匀速运动;(2)求人影的长度随时间的变化率。

题型:0103 期中题难度:来源:
一路灯距地面的高度为h,身高为l的人以速度v匀速行走,如图所示。
(1)试证明人的头顶的影子作匀速运动;
(2)求人影的长度随时间的变化率。
答案
解:(1)设t=0时刻,人位于路灯的正下方O处,在时刻t,人走到S处,根据题意有:
       ①
      过路灯P和人头顶做直线与地面的交点为M,M为t时刻人头顶影子的位置,如图所示:              OM为人头顶影子到O点的距离,由几何关系,有:
       ②
      联立①、②解得: ③ 
      因OM与时间t成正比,故人头顶的影子做匀速运动
(2)由图可知,在时刻t,人影的长度为SM,由几何关系,有:
      SM=OM-OS ④
      由①、③、④式解得:
      可见影长SM与时间t成正比,所以影长随时间的变化率
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