如图所示，两根相距为d足够长的平行光滑金属导轨位于水平的xoy平面内，导轨与x轴平行，一端接有阻值为R的电阻．在x＞0的一侧存在竖直向下的匀强磁场，一电阻为r的

题型：不详难度：来源：

如图所示，两根相距为d足够长的平行光滑金属导轨位于水平的xoy平面内，导轨与x轴平行，一端接有阻值为R的电阻．在x＞0的一侧存在竖直向下的匀强磁场，一电阻为r的金属直杆与金属导轨垂直放置，并可在导轨上滑动．开始时，金属直杆位于x=0处，现给金属杆一大小为v₀、方向沿x轴正方向的初速度．在运动过程中有一大小可调节的平行于x轴的外力F作用在金属杆上，使金属杆保持大小为a、方向沿x轴负方向的恒定加速度运动．金属轨道电阻可忽略不计．
求：
（1）金属杆减速过程中到达x=x₀处位置时金属杆的感应电动势E；
（2）回路中感应电流方向发生改变时，金属杆在轨道上的位置；
（3）若金属杆质量为m，请推导出外力F随金属杆在x轴上的位置（x）变化关系的表达式．

答案

（1）设金属杆到达x₀处时，其速度为v₁，由运动学公式

v

21

-

v

20

=-2ax0 
解得：v1=

v 20 -2ax0

  
故金属杆的感应电动势为  E=Bdv₁=Bd

v 20 -2ax0

（2）当金属杆的速度减小到零时，回路中感应电流方向改变，设此时金属杆的位置为x_m
由运动学公式得 

v

20

=2axm
解得  xm=

v 20

2a

（3）在金属杆沿x轴正方向运动的过程中，设金属杆到达x处时，速度大小为v，则
   v=

v 20 -2ax

            
金属杆的感应电动势为E=Bdv
回路中的感应电流为I=

E

R+r

金属杆受到的安培力为F_A=BId，方向为x轴负方向
设x负方向为正方向，由牛顿第二定律得  F+F_A=ma
外力F随金属杆的位置x变化的关系为：F=ma-

B2d2 v 20 -2ax

R+r

       
在金属杆沿x轴负方向运动的过程中，设金属杆到达x处时，速度大小为v，根据匀变速直线运动的对称性可知，v=

v 20 -2ax

同理，此金属杆的感应电动势为E=Bdv，
金属杆所受的安培力为：F_A=BId=

B2d2 v 20 -2ax

R+r

，方向为x轴正方向
设负x方向为正方向，由牛顿第二定律F-F_A=ma
外力F随金属杆位置x变化的关系为：F=ma+

B2d2 v 20 -2ax

R+r

答：
（1）金属杆减速过程中到达x=x₀处位置时金属杆的感应电动势E为Bd

v 20 -2ax0

；
（2）回路中感应电流方向发生改变时，金属杆在轨道上的位置为

v 20

2a

；
（3）若金属杆质量为m，外力F随金属杆在x轴上的位置（x）变化关系的表达式为：
在金属杆沿x轴正方向运动的过程中，F=ma-

B2d2 v 20 -2ax

R+r

；在金属杆沿x轴负方向运动的过程中，F=ma+

B2d2 v 20 -2ax

R+r

．